傅里叶级数与傅里叶变换

在数学中，将一个复杂的函数展开为使用简单函数表示的级数是一种很常见的处理方法。通过研究展开后的初等函数，可以简化函数的计算并展示函数的内在性质。

泰勒展开式是一种将函数展开为多项式级数的方式，多项式级数方便了函数的数值计算与无穷小分析。但是泰勒展开式有较大的局限性：

泰勒展开式要求函数具有无限阶（或者在损失一定精度的情况下至少要有 \\( n \\) 阶），但这是很难保证的，特别是许多函数不可导甚至不连续
虽然泰勒展开的多项式在收敛域内和原函数吻合，但在仅展开为有限多项的情况下，在远离 \\( x_0 \\) 时余项误差较大

这就需要另一种级数展开方法来克服这些缺陷。

19 世纪初，法国数学家和工程师 Fourier 在研究热传导问题时，找到了在有限区间上用三角级数表示一般函数 \\( f(x) \\) 的方法，即所谓的傅里叶级数。傅里叶级数主要讨论将周期函数展开为三角级数形式的问题。

函数的分解理论

函数的分解理论为傅里叶级数提供了线索。

向量的正交分解

在研究向量的时候，常常将向量分解为两个正交的基向量表示：

这样，平面中任意向量 \\( \Vec v \\) 都可以表示为两个不为零的正交向量的线性组合：

\\[ \Vec v = k_1 \Vec v_1 + k_2 \Vec v_2 \\]

在三维空间中也是类似的情况，如果三个向量 \\( \Vec v_1, \Vec v_2, \Vec v_3 \\) 两两垂直且均不为零向量，那么它们可以用于表示三维空间中的任意一个向量。并且在三维空间中，表示任意一个向量必须要三个正交的非零向量，只有两个正交向量是不够的。在三维空间中，称向量集合 \\( \{ \Vec v_1, \Vec v_2, \Vec v_3 \} \\) 构成一个完备的正交向量集，因为这个集合内的向量不仅两两正交，而且在这个集合外再也找不到一个非零向量与它们均正交。

类似地，在 \\( n \\) 维空间中，必须用至少 \\( n \\) 个向量才能表示空间中的任意向量，并且只有 \\( n \\) 个两两正交的非零向量 \\( \Vec v_1, \Vec v_2, \dots, \Vec v_n \\) 构成的正交向量集 \\( \{ \Vec v_1, \Vec v_2, \dots, \Vec v_n \} \\) 才是完备的。这样一来，任意一个 \\( n \\) 维向量都可以表示为它们的线性组合。

这里倾向于使用正交分解的一个特点是：正交分解具有最小的误差，如果仅将向量 \\( \Vec v \\) 分解为 \\( \Vec v_1 \\) 方向上的分量，为了使另一个分量（这里称为误差分量）\\( \Vec v_e \\) 长度最小，那么就需要使 \\( \Vec v_1 \\) 与 \\( \Vec v_e \\) 正交：

借助平面向量的知识，可以借助如下公式求出 \\( \Vec v_1 \\) 方向分量的系数：

\\[ c_1 = \frac {\Vec v_1 \cdot \Vec v_2}{\Vec v_2 \cdot \Vec v_2} \\]

这就是向量空间中的正交向量与向量的正交分解的概念。

函数的正交分解

向量正交分解的概念可以进一步推广到函数中。

在平面向量中，判断两个向量正交的方法为：如果两个向量正交，那么这两个向量的点积为 0 ，即：

\\[ \Vec v_1 \cdot \Vec v_2 = 0 \\]

（实）函数的正交指的是两个函数的乘积在区间内积分值为 0 ，即：

\\[ \int_{x_1}^{x_2} f_1(x) \cdot f_2(x) \dd x = 0 \\]

那么称函数 \\( f_1(x) \\) 和 \\( f_2(x) \\) 在区间 \\( (x_1, x_2) \\) 内正交。函数的正交依赖于它定义的区间，两个函数可能在某一区间内正交，而在另一区间内又不正交。

如果对一系列定义在 \\( (x_1,x_2) \\) 上的函数 \\( f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x) \\) 有

\\[ \int_{x_1}^{x_2} f_i(x) f_j(x) \dd x = \begin{cases} 0 & i \neq j \\ K_i \neq 0 & i = j \\ \end{cases} \\]

即所有函数之间均两两正交，则称 \\( \{ f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x) \} \\) 为正交函数集。这里要求 \\( \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f_i^2(x) \dd x \neq 0 \\) 的意义在于强调正交函数集中不包含零函数，虽然零函数与任意函数正交，但处理这样的问题是没有意义的。

进一步地，如果在正交函数集 \\( \{ f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x) \} \\) 之外，找不到另外一个非零函数 \\( f_{n+1}(x) \\) 与该函数集中的任意函数均存在正交关系，那么称该函数集构成了一个完备正交函数集。

类比完备向量集，可以推测完备正交函数集具有的一些性质。例如，如果 \\( \{ f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x) \} \\) 在区间 \\( (x_1,x_2) \\) 内是某一类函数的完备正交函数集，则任何一个该类函数都可以准确表示为 \\( \{ f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x) \} \\) 的线性组合，即：

\\[ f(x) = c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + \dots + c_n f_n(x) \\]

以上公式称为函数的正交分解式，其中 \\( c_i \\) 为函数分量的加权系数。该公式说明了可以利用一类函数的叠加来表达某一个函数，反过来也说明了一个函数可以展开为这类函数的级数，这为下文介绍的傅里叶级数奠定了基础。

这里在此基础上推导系数的求解方法。如果要用函数 \\( f_1(x) \\) 来近似 \\( f(x) \\) ，即表示为 \\( f(x) = c_1 f_1(x) + f_e(x) \\) 的形式，那么为了使两者最接近，需要使两者的均方误差最小，即取得最小的

\\[ \varepsilon^2 = \frac 1 {x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2} [f(x) - c_1f_1(x)]^2 \dd x \\]

之所以使用均方误差，是因为平方项可以消除符号的影响，防止较大的正误差与负误差发生抵消，以致不能正确反映两函数的近似程度。平方项的处理也比绝对值更简单。

为了求得具有最小均方误差时的系数，可以对它求导判断极值：

\\[ \frac {\dd \varepsilon^2}{\dd c_1} = 0 \\]

展开平方项并交换微分与积分次序的结果如下。注意这里是对变量 \\( c_1 \\) 求导，不包含 \\( c_1 \\) 项的导数为 0 ：

\\[ \frac 1 {x_2-x_1} \int _{x_1}^{x_2} \frac{\dd }{\dd c_1} \left[ f^2(x) - 2 c_1 f(x)f_1(x) + c_1^2 f_1^2(x) \right] \dd x = 0 \\]

继续求导并分离参数，这样就求得了具有最小误差时的系数：

\\[ c_1 = \frac {\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)f_1(x) \dd x }{\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f_1^2(x) \dd x } \\]

如果求得的 \\( c_1 \\) 为 \\( 0 \\) ，说明 \\( f(x) \\) 中根本不包含 \\( f_1(x) \\) 的分量，即两者正交。这进一步说明了两个函数正交的条件为 \\( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)f_1(x) \dd x = 0 \\) 。

进一步地，如果使用多个函数 \\( f_i(x) \\) 来近似 \\( f(x) \\) ，那么每个函数前系数的求解方法为：

\\[ c_i = \frac {\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)f_i(x) \dd x }{\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f_i^2(x) \dd x } \\]

求解过程是类似的，只不过将求导变成了求偏导。

复变函数的正交性

前文介绍的函数正交性只针对实函数。对于复变函数，由于两个复数向量的内积定义需要对其中一个向量取共轭，因此，复变函数正交性的定义也是如此：

若在区间 \\( [x_1,x_2] \\) 内，复变函数集 \\( {g_n(t)} \\) 满足：

\\[ \int_{x_1}^{x_2} g_i(x) g^*_j(x) \dd x = \begin{cases} 0 & i \neq j \\ K_i \neq 0 & i = j \\ \end{cases} \\]

其中 \\( g^*_n(x) \\) 为 \\( g_n(x) \\) 的共轭，则称复变函数集 \\( {g_n(x)} \\) 为正交函数集。

在分解复变函数时，相关系数的求解公式为：

\\[ c_i = \frac {\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)g_i(x) \dd x }{\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} g_i(x)g^*_i(x) \dd x } \\]

当 \\( g_n(x) \\) 的虚部为零时，它就自然退化为实函数的相关表述。这个结论在下文将会用到，因此在此作简要介绍。

周期函数和三角函数

周期运动是自然界中一种常见的运动形式，其特征为每隔一定时间运动过程将会重复。常见的周期运动包括单摆的摆动、行星的轨道运动和波的传播。

周期函数是周期运动的数学表述。周期函数的特点是存在一个正数 \\( T \\) ，使得 \\( f(x) = f(x+T) \\) ，这个正数 \\( T \\) 称为函数的周期(period)。

正弦函数是一类常见的周期函数，正弦函数可以用于描述波动、振动和旋转等基础的周期现象，因此在物理学、工程学和信号处理中的应用非常广泛。正弦函数使用数学公式描述为：

\\[ f(x) = A \sin (\omega x + \varphi) \\]

其中 \\( A \\) 表示振幅；\\( \omega \\) 表示角频率，反映了函数的变化速度；\\( \varphi \\) 表示初相位，反映了函数的初始状态。其中角频率和周期的换算关系为 \\( \omega = \dfrac{2 \pi}{T} \\) 。

三角函数有一些很有用的数学性质。例如，三角函数在任意一个周期上的积分均为 0 ：

\\[ \int_{x_0}^{x_0+T} A \sin (\omega x + \varphi) \dd x = 0 \\]

借助和角公式，可以将带有一定初相位的正弦函数转化为初相位为 \\( 0 \\) 的正弦函数和余弦函数的和：

\\[ \sin(x \pm \theta) = \cos\theta \sin x \pm \sin\theta \cos x \\]

这样就不用再考虑初相位的问题了。

三角函数集

上一节简单回顾了三角函数，由以下所有三角函数构成的集合称为三角函数集：

\\[ \{1, \cos x, \cos 2x, \dots, \cos nx, \sin x, \sin 2x, \dots, \sin nx \} \\]

这些函数的特点是均以 \\( 2\pi \\) 为周期（特别地，\\( 1 \\) 可以表示为 \\( \cos 0x \\) ），并且根据积化和差公式，其中任意两个函数相乘的结果也由这个三角函数集中的函数构成，因此也以 \\( 2\pi \\) 为周期：

\\[ \cos mx \cos nx = \frac 1 2 [\cos (m+n)x + \cos (m-n)x] \\]

因此，三角函数系在任意一个长度为 \\( 2\pi \\) 的区间上都是正交函数集，即任意两个不同的函数乘积在区间 \\( [-\pi, \pi] \\) 的积分都为 0 ：

\\[ \begin{gather} \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \dd x = \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \dd x = \begin{cases} 0 & m\neq n \\ \pi & m=n \end{cases} \quad m,n = 1, 2, 3, ... \\ \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \sin nx \dd x = 0 \quad m = 0, 1, 2, ...; n = 1, 2, 3, ... \\ \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cdot 1 \dd x = \begin{cases} 0 & m\neq 0 \\ 2\pi & m=0 \end{cases} \quad m,n = 0, 1, 2, ... \\ \end{gather} \\]

根据周期函数的性质，以上积分结果在任意一个长度为 \\( 2\pi \\) 的区间上都相同。但为了研究方便，一般在 \\( [-\pi, \pi] \\) 上积分。

傅里叶级数

展开成傅里叶级数

根据前文介绍的内容，三角函数集是一个正交函数集。由三角函数集内所有三角函数线性组合构成的级数称为三角级数：

\\[ a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx + b_n\sin nx) \\]

三角级数的周期总是 \\( 2\pi \\) 的，那么如果三角函数集是完备的话，一个周期为 \\( 2\pi \\) 的周期函数，是否可以表示为三角级数的形式？这里假定这样的函数可以展开为三角级数的形式，即：

\\[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx + b_n\sin nx) \\]

接下来先尝试求解加权系数，再讨论函数可以展开的条件。

利用三角函数的正交性，对等式两端逐项积分得（这里假定级数收敛，对级数的积分可以转为逐项积分）：

\\[ \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \dd x = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \dd x + \sum_{n=1}^{\infty} \bigg[ \int_{-\pi}^{\pi} a_n\cos nx \dd x + \int_{-\pi}^{\pi} b_n\sin nx \dd x \bigg] \\]

由于三角函数在周期内的积分值为 0 ，因此以上积分只剩下对常数函数的积分，这样就可以求得常数项的值为：

\\[ a_0 = \frac 2 {\pi} \int _{-\frac T 2}^{\frac T 2} f(x) \sin (n \omega x ) \dd x \\]

为了求出其余的参数，可以利用三角函数系的正交性，在等式两端同时乘以 \\( \cos mx \\) 再积分，这样除了 \\( m = n \\) 的那一项，其余项的积分均为 0 ，就可以求解出该项的参数了：

\\[ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos mx \dd x &= \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \cos mx \dd x + \sum_{n=1}^{\infty} \bigg[ \int_{-\pi}^{\pi} a_n\cos nx \cos mx \dd x + \int_{-\pi}^{\pi} b_n\sin nx \cos mx \dd x \bigg] \\ &= \int_{-\pi}^{\pi} a_n\cos nx \cos mx \dd x + 0 \qquad (m=n) \end{align} \\]

从而得到：

\\[ a_n = \frac 1 {\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (nt) \dd x \qquad (n=1,2,3,...) \\]

类似地，在等式两端同时乘以 \\( \sin mx \\) 再积分，这样除了 \\( m = n \\) 的其余项的积分均为 0 ，可以求解出对应项的参数：

\\[ b_n = \frac 1 {\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (nx) \dd x \qquad (n=1,2,3,...) \\]

为了使系数拥有统一的表达式，一般将常数项写作 \\( \dfrac{a_0}2 \\) ，这样系数的计算公式可以统一表示为：

\\[ \begin{align} & a_n = \frac 1 {\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (nx) \dd x && (n=0,1,2,3,...) \\ & b_n = \frac 1 {\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (nx) \dd x && (n=1,2,3,...) \end{align} \\]

通过上面两式，可以将一个周期为 \\( 2\pi \\) ，并在 \\( [-\pi,\pi] \\) 上可积或绝对可积的函数展开为三角级数：

\\[ f(x) \rightarrow a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx + b_n\sin nx) \\]

这样的三角级数称为函数的傅里叶级数，相应的系数称为傅里叶系数。这里并没有使用等号，是因为不知道级数是否收敛；即使收敛，也不知道它是否收敛为 \\( f(x) \\) 。

需要注意的是，虽然傅里叶级数要求被展开函数是周期函数，但对于定义在有限区间内的非周期函数，可以采用解析延拓的方式，即通过补充定义使函数将函数的定义域扩展到整个实数域上成为周期函数。这种延拓方式也称周期延拓。

不过在实践时，解析延拓可以是在观念上的，因为实际积分区间长度只发生在一个周期内，将计算得到的级数限定在对应区间内就是原函数在有限周期内的傅里叶级数展开式。

接下来看一个示例，将方波 \\( \displaystyle f(x) = \begin{cases} \pi & x \in \lbrack -\pi, 0 \rbracp \\ 0 & x \in \lbrack 0, \pi \rbracp \end{cases} \\) 展开为傅里叶级数：

这样的函数甚至不连续，因此根本无法使用泰勒展开式。接下来看看使用傅里叶级数的展开效果。

先计算各系数如下：

\\[ \begin{align} a_0 &= \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \dd x = \pi \\ a_n &= \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \dd x = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{0} \pi \cdot \cos nx \dd x = \frac 1 n \sin nx \bigg|_{-\pi}^0 = 0 \\ b_n &= \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \dd x = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{0} \pi \cdot \sin nx \dd x = - \frac 1 n \cos nx \bigg|_{-\pi}^0 = \frac{(-1)^n-1}{n} \end{align} \\]

于是得到 \\( f(x) \\) 的展开式为：

\\[ \begin{alignedat}{2} f(x) &\rightarrow&& \frac \pi 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n-1}n \sin nx \\ &&& = \frac \pi 2 - 2 \left( \sin x + \frac{\sin 3x}3 + \frac{\sin 5x}5 + \cdots + \frac{\sin (2n+1)x}{2n+1} + \cdots \right) \end{alignedat} \\]

以下展示了 \\( f(x) \\) 的展开式在前几项的逼近情况（部分和）：

从图中可以看到，傅里叶级数的收敛情况很不错，前几项的部分和就基本接近原函数的值；只是当 \\( x=n\pi \\) 时，级数收敛于 \\( \dfrac{\pi}2 \\) ，而不是 \\( f(x) \\) 。

收敛条件

上文看到了周期为 \\( 2\pi \\) 的函数 \\( f(x) \\) 如果在一个周期上绝对可积，那么它可以展开为傅里叶级数。但前文并没有说明傅里叶级数的收敛性，这里补充一个收敛定理，这个定理的证明非常复杂，具体可以参考数学分析的相关书籍。

狄利克雷(Dirichlet)充分条件描述了傅里叶级数的收敛性。设 \\( f(x) \\) 是周期为 \\( 2\pi \\) 的周期函数，如果它满足以下条件：

在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点

在一个周期内只有有限个极值点

那么 f(x) 的傅里叶级数收敛，并且收敛于 \\( \dfrac 1 2 [f(x^-)+f(x^+)] \\) 。

换句话说，若 \\( f(x) \\) 的幅值、间断、振动都是有限的，则 \\( f(x) \\) 的傅里叶级数在函数的连续点处就收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的算术平均值。

物理和工程中出现的函数一般都满足以上充分条件，因此可以表示为傅里叶级数。最后要说明的是，傅里叶级数的收敛性是一个很复杂的问题，甚至至今都没有找到能判断傅里叶级数敛散性的充分必要条件。

以上傅里叶展开的系数计算公式只能用于 \\( f(x) \\) 的周期为 \\( 2\pi \\) 的情况。但很多时候，\\( f(x) \\) 的周期未必都为 \\( 2\pi \\) 。要解决这个问题也很简单，只要通过换元 \\( x = \dfrac {2\pi}{T} t \\) ，将函数伸缩到周期为 \\( 2\pi \\) 处理即可。

由此可以得到任意周期函数的傅里叶级数展开式：

对于任意周期为 \\( T \\) 的周期函数 \\( f(x) \\) ，记 \\( \Omega=\dfrac{2\pi}T \\) ，则 \\( f(x) \\) 可以展开为

\\[ f(x) = \frac {a_0}2 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n\cos (n\Omega x) + b_n\sin (n\Omega x)] \\]

的傅里叶级数形式，其中各系数的计算公式如下：

\\[ \begin{align} a_0 &= \frac 2 T \int _{x_0}^{x_0 + T} f(x) \dd x \\ a_n &= \frac 2 T \int _{x_0}^{x_0 + T} f(x) \cos (n \Omega x ) \dd x \\ b_n &= \frac 2 T \int _{x_0}^{x_0 + T} f(x) \sin (n \Omega x ) \dd x \\ \end{align} \\]

一般情况下，计算时积分区间取 \\( [0, T] \\) 或 \\( [-\dfrac T 2, \dfrac T 2] \\) 即可。

正弦级数和余弦级数

上一节的示例将方波展开为傅里叶级数，并且展开的级数只包含常数分量和正弦分量。根据正弦函数的奇偶性，如果 \\( f(x) \\) 是奇函数，那么它展开的傅里叶级数只包含正弦函数，称为正弦级数：

\\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin nx \\]

类似地，若 \\( f(x) \\) 是偶函数，那么它展开的傅里叶级数只包含余弦函数，称为余弦级数：

\\[ f(x) = \frac{a_0}2 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos nx \\]

接下来看一个示例，将函数 \\( f(x) = x \quad x \in [0, \pi] \\) 展开为傅里叶级数：

对于这样的函数，在周期延拓前，可以先将其延拓为奇函数或偶函数再计算系数。

首先可以将其延拓为偶函数，从而计算得到的是余弦级数：

\\[ \hat f(x) = \begin{cases} -x & x \in \lbrack -\pi, 0 \rbracp \\ x & x \in \lbrack 0, \pi \rbracp \\ \end{cases} \\]

代入余弦级数的公式得：

\\[ \begin{align} a_0 &= \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \dd x = \frac 2 \pi \int_{0}^{\pi} x \dd x = \frac{x^2}{\pi} \bigg|_0^{\pi} = \pi \\ a_n &= \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \dd x = \frac 2 \pi \left( \frac{x\sin nx}n \Bigg|_0^{\pi} - \frac 1 n \int_o^{\pi} \sin nx \dd x \right) \\ &= \frac 2{\pi} \left( \frac{\cos nx}{n^2} \Bigg|_0^{\pi} \right) = 2 \frac{(-1)^n-1}{n^2\pi} \\ b_n &= 0 \end{align} \\]

因此 \\( f(x) \\) 的余弦级数为：

\\[ \begin{alignedat}{2} f(x) &\rightarrow&& \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n-1}{n^2} \cos nx \\ &&& = \frac \pi 2 - \frac 4 \pi \left( \sin x + \frac{\sin 3x}{3^2} + \frac{\sin 5x}{5^2} + \cdots + \frac{\sin (2n+1)x}{(2n+1)^2} + \cdots \right) \\ \end{alignedat} \\]

再看正弦级数的情况。将 \\( f(x) \\) 解析延拓为：

\\[ \hat f(x) = x \quad x \in \lbracp -\pi, \pi \rbrack \\]

那么对应系数的计算公式为：

\\[ \begin{align} a_n &= \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \dd x = \frac 2 \pi \left( \frac{x\sin nx}n \Bigg|_0^{\pi} - \frac 1 n \int_0^{\pi} \sin nx \dd x \right) \\ &= \frac 2{\pi} \left( \frac{\cos nx}{n^2} \Bigg|_0^{\pi} \right) = 2 \frac{(-1)^n-1}{n^2\pi} \\ b_n &= 0 \end{align} \\]

因此 \\( f(x) \\) 的正弦级数为：

以下对比了将 \\( f(x) \\) 分别展开为余弦和正弦级数的情况：

对比之下可以看到，同一个函数的不同展开方式，虽然最终在 \\( \lbrack 0, \pi \rbracp \\) 内都会收敛为原函数，但是它们部分和的逼近情况则完全不同。

吉布斯现象

吉布斯现象(Gibbs phenomenon)指的是当用有限项傅里叶级数逼近一个具有不连续点的周期性函数时，在不连续点附近出现的振荡现象。

由于三角函数是连续的，因此由有限个三角函数构成的傅里叶级数在接近不连续点时，无法完美地过渡，导致傅里叶级数在不连续点前出现*过冲*。随着级数项数的增加，过冲的区域变窄，但过冲的幅度不会变小，而是始终存在，并趋于某个固定的极限。

傅里叶分析理论可以证明，这个极限约为实际跳跃值的 \\( 9\% \\) 。

傅里叶级数的频谱分析

根据上文讨论，一个周期函数 \\( f(x) \\) 只要满足狄利克雷条件，就可以分解为直流、基波 \\( (\Omega) \\) 和各次谐波 \\( (n\Omega) \\) 的线性组合。但在表示各次谐波时，需要分别表示正弦分类的系数和余项分量的系数，这样不利于分析展开后级数的特点。

如果进一步应用和角公式合并各次谐波分量，则可以得到周期函数 \\( f(x) \\) 带相位的纯余弦形式的傅里叶级数展开式：

\\[ f(x) = A_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} A_n \cos(n\Omega x + \varphi_n) \\]

一般倾向写作余弦形式而不是正弦形式的原因在于，常数项可以一并写作 \\( A_0 \cos (0\Omega x) \\) ，这样可以得到更通用的表达式：

\\[ f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} A_n \cos(n\Omega x + \varphi_n) \\]

它和上一种形式各项系数的对应关系为：

\\[ \begin{aligned} A_0 &= \frac{a_0}{2} \\ \varphi_0 &= 0 \\ A_n &= \sqrt{ a_n^2 + b_n^2 } & (n=1, 2, ...) \\ \varphi_n &= -\arctan \frac{b_n}{a_n} & (n=1, 2, ...) \\ \end{aligned} \\]

在表示各分量时，只需要表示各谐波的振幅和相位随频率的变化关系，这种关系可以反映在图形上，称为频谱图。具体来说，频谱图包含以下两个部分：

幅度频谱：描述 \\( |A_n|-n\Omega \\) 关系
相位频谱：描述 \\( |\varphi_n|-n\Omega \\) 关系

例如，对于如下周期矩形脉冲函数：

其傅里叶级数的系数为：

\\[ \begin{aligned} a_0 &= \frac 2T \int_{-\textstyle\frac T2}^{\textstyle\frac T2} f(x) \dd x = \frac 2T \int_{-\textstyle\frac \tau 2}^{\textstyle\frac \tau 2} E \dd x = \frac {2E\tau} T \\ a_n &= \frac 2T \int_{-\textstyle\frac T2}^{\textstyle\frac T2} f(x) \cos \left( n \frac {2\pi} T x \right) \dd x = \frac 2T \int_{-\textstyle\frac T2}^{\textstyle\frac T2} E\cos \left( n \frac {2\pi} T x \right) \dd x \\ &= \frac {2E}{n\pi} \sin \left( \frac {n\pi\tau} T \right) = \frac {2E\tau}{T} \cdot \frac {\sin \bigg( \cfrac {n\pi\tau} T \bigg)} {\cfrac {n\pi\tau} T} \end{aligned} \\]

由于 \\( f(x) \\) 是偶函数，所以正弦分量 \\( b_n=0 \\) ，于是它的余弦形式的傅里叶级数系数为：

\\[ \begin{aligned} A_0 &= \dfrac {a_0}2 = \dfrac {E\tau} T \\ A_n &= \frac {2E\tau}{T} \cdot \frac {\sin \bigg( \cfrac {n\pi\tau} T \bigg)} {\cfrac {n\pi\tau} T} \end{aligned} \\]

由此可画出频谱图如下：（当 \\( A_n \\) 为负时，可以认为是相移 \\( \pi \\) 的结果）

图中每一条线代表某一频率分量的幅度或相位，称为谱线。周期信号的谱线只会出现在 \\( 0,\Omega,2\Omega,\cdots \\) 这些离散的频率点上，因此周期信号的频谱呈现离散谱这一特点。

傅里叶级数的频谱图为分析周期函数带来了一种全新的角度。在传统的视角下，函数通常被视为某个量随另一个量（一般为时间或空间）变化的结果，关注的也是某个时间或空间范围内函数的具体形态。但借助傅里叶级数，可以从另一个维度观察函数的特点，这个维度称为频域。在时域中看似复杂而无序的函数，在频域中只是一系列正弦波预先设定的结果。甚至无需研究函数在时间或空间上的形态，就可以在频域中分析其特征。

An Interactive Introduction to Fourier Transforms 是一个可视化的交互教学，它展示了一系列正弦波如何像驱动机器的齿轮一样，构成一个任意复杂的图形。后文会介绍在频域处理函数的用途。

使用复数表示的傅里叶级数

上一节虽然通过和角公式将同一角频率下的正弦分量和余弦分量合并处理，但是合并后分别处理幅度和相位两个量还是不够方便，不过好在幅度和相位可以合并为复数形式。

借助欧拉公式：

\\[ \begin{array}{cc} \cos(n\Omega x) = \dfrac {e^{in\Omega x} + e^{-in\Omega x}} 2 & \sin(n\Omega x) = \dfrac {e^{in\Omega x} - e^{-in\Omega x}} {2i} \end{array} \\]

可以将傅里叶级数进一步拓展到复数域中：

\\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac {a_0}2 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left[ a_n \frac {e^{in\Omega x} + e^{-in\Omega x}} 2 + b_n \dfrac {e^{in\Omega x} - e^{-in\Omega x}} {2i} \right] \\ &= \frac 1 2 a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left[ \frac 1 2 (a_n - ib_n) e^{in\Omega x} + \frac 1 2 (a_n + ib_n) e^{-in\Omega x} \right] \end{aligned} \\]

这里同时含有 \\( n \\) 和 \\( -n \\) 的指数形式，如果拓展 \\( a_{-n}=a_n \\) ，\\( b_{-n}=-b_n \\) 且 \\( b_0=0 \\) ，则复数形式的傅里叶级数还有一种更简洁的表示方法：

\\[ f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \frac {a_n - ib_n}2 e^{in\Omega x} \xlongequal{\textstyle F_n = \dfrac {a_n - ib_n}2} \sum_{n = -\infty}^{\infty} F_n e^{in\Omega x} \\]

因此，在复数范围内，可以将周期函数展开为复指数函数集 \\( { e^{in\Omega x} } \\) 表示的级数。但与三角函数集不同的是，这里 \\( n \in \mathbb Z \\) ，且系数 \\( F_n \in \mathbb C \\) 。

这说明复指数函数集 \\( { e^{in\Omega x} } \\) 也是正交函数集，因此在求解系数 \\( F_n \\) 时，可以仿照以上思路，直接应用正交性：

\\[ F_n = \frac 1T \int_T f(x) e^{-in\Omega x} \dd x \\]

这里注意指数需要添加负号，因为上文提到了复变函数的正交性需要取共轭。

使用复指数函数集表示的傅里叶级数只需计算一个积分，因此使用起来非常方便。

需要注意的是，虽然由于引入 \\( -n \\) 而出现了负的角频率 \\( -n\Omega \\) ，但这并不代表实际上存在负频率，只是将第 \\( n \\) 次谐波写成两个复指数之和而出现的一种数学形式。在实际中，\\( F_n e^{in\Omega x} \\) 和 \\( F_{-n} e^{-in\Omega x} \\) 必然成对出现，它们的和才是振荡在正频率 \\( n\Omega \\) 上的实函数 \\( A_n\cos(n\Omega x + \varphi_n) \\) 。

对于复指数函数表示的傅里叶级数，同样可以采用频谱分析的方法。例如，对于以上周期矩形脉冲函数，其指数形式的傅里叶级数为：

\\[ \begin{aligned} F_n &= \frac 1T \int_{-\textstyle\frac T2}^{\textstyle\frac T2} E e^{-in\Omega x} \dd t = \frac ET \cdot \frac {e^{-in\Omega x}} {-in\Omega} \bigg|_{\textstyle -\frac\tau 2}^{\textstyle\frac\tau 2} \\ &= \frac {E\tau} T \cdot \frac {\sin \bigg( \cfrac {n\Omega\tau} 2 \bigg)} {\cfrac {n\Omega\tau} 2} \end{aligned} \\]

则可画出频谱图如下：

由于指数形式的傅里叶级数形式上包含负频率，因此其频谱呈双边谱的特点；而 \\( F_n \\) 一般为复数，因此它还是复数谱。根据以上分析可知，其幅度关于 \\( \omega=0 \\) 是偶函数，相位关于 \\( \omega=0 \\) 是奇函数。

从傅里叶级数到傅里叶变换

非周期函数的展开

上文已经完整地介绍了函数的傅里叶展开，并从频谱的角度分析了它的特点。但以上关于傅里叶级数的研究只能应用在周期函数上，如果函数 \\( f(x) \\) 不具有周期性，还能应用这种处理方法吗？

上文曾将定义在有限区间的非周期函数通过周期延拓的方式展开为傅里叶级数，对于定义在 \\( \mathbb R \\) 上的非周期函数，也可以采用这一种思路处理：

首先，只截取 \\( f(x) \\) 在 \\( [-\frac T2,\frac T2] \\) 上的部分，即将其视为仅定义在 \\( [-\frac T2,\frac T2] \\) 有限区间上的函数；
将截取的部分以 \\( T \\) 为周期延拓为周期函数。对于这个周期函数，可以展开为傅里叶级数；
令 \\( T \\) 趋于无穷大。

即：将非周期函数视为周期函数在周期趋于无穷大时的极限情况。

接下来看一个示例，处理如下所示的孤立矩形脉冲 \\( f(x) = \begin{cases} E & |x| \le \frac \tau 2 \ 0 & |x| \gt \frac \tau 2 \ \end{cases} \\)

上文讨论的周期矩形脉冲函数在 \\( |x|\le T \\) 内的定义式与孤立矩形脉冲相同，其余区间上的定义可以通过该区间定义以 \\( T \\) 为周期延拓得到。

上文已经计算了周期矩形脉冲函数的傅里叶系数，并得到了频谱图。如果保持 \\( \tau \\) 不变，增大 \\( T \\) ，那么谱线的间隔 \\( \Omega(=\dfrac{2\pi}T) \\) 将会变小，谱线的长度 \\( |F_n|(=\dfrac{E\tau}T\cdots) \\) 将会变短：

对于非周期函数，如果以“周期趋于无穷大”的方式理解它，就会出现以下情况：

谱线的间隔将趋于无穷小；此时，离散的频率点 \\( n\Omega \\) 将取遍所有实数（或者说，任意 \\( \omega \\) 都可以视为某个 \\( n\Omega \\) 在 \\( \Omega\to 0 \\) 时的极限），离散的频率点变成了一个连续的频率变量 \\( \omega \\)
谱线的长度也将区域无穷小；但是这些无穷小之间扔保持相同的比例关系

这时，不能再使用离散的频谱序列来表示频谱的分布情况，而应引入一个新的描述式，称为频谱密度函数。下面推导这一变换过程，并说明频谱密度函数的意义。

傅里叶变换

根据上文的讨论，对于一个周期函数 \\( f_T(x) \\) ，可以将其展开为指数形式的傅里叶级数：

\\[ \begin{aligned} f_T(x) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \underset{\textstyle F_n}{\underline{\frac 1T\int_T f(t) e^{-in\Omega t} \dd t}} \cdot e^{in\Omega x} \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \frac 1{2\pi} \int_T f(t) e^{-in\Omega t} \dd t \cdot e^{in\Omega x} \right] \Omega \end{aligned} \\]

记 \\( \omega_n=n\Omega \\) ，\\( \Delta\omega=\Omega \\) 为谱线间隔，那么以上级数还可以表示为如下形式：

\\[ f_T(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \frac 1{2\pi} \int_T f(t) e^{\textstyle -i\omega_n t} \dd t \cdot e^{\textstyle i\omega_n x} \right] \Delta\omega \\]

它看上去很像黎曼和的形式，因此如果对上式取极限 \\( T\to+\infty \\) ，此时 \\( f_T(x)\to f(x) \\) ，并且：

\\( \Delta\omega\to 0 \\) ，变成了微分 \\( \dd \omega \\)
离散的 \\( \omega_n \\) 变成了连续的 \\( \omega \\)
求和 \\( \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \\) 变成了积分 \\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \\)

于是以上级数变成了如下的积分形式：

\\[ f(x) = \lim_{T\to+\infty} f_T(x) = \frac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} \dd t \right] e^{i\omega x} \dd \omega \\]

将方括号中的积分式记作：

\\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} \dd t \\]

称为函数 \\( f(x) \\) 的傅里叶变换(Fourier transform, FT) ，记为 \\( F(\omega) = \mathcal{F}[f(x)] \\)

而以上积分

\\[ f(x) = \frac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i\omega x} \dd \omega \\]

称为 \\( F(\omega) \\) 的傅里叶逆变换(inverse Fourier transform)，记为 \\( f(x) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] \\)

注意到 \\( F(\omega) \\) 其实是以下极限的结果：

\\[ F(\omega) = \lim_{T\to+\infty} \frac {F_n}{1/T} = \lim_{T\to+\infty} F_n T = \lim_{T\to+\infty} 2\pi \frac {F_n}{\omega} \\]

所以，\\( F(\omega) \\) 的意义可以看作单位频率上的频谱值。就像密度的定义是单位体积物质的质量一样，\\( F(\omega) \\) 称为频谱密度函数。

这里出现系数 \\( 2\pi \\) 只是因为周期 \\( T \\) 和角频率 \\( \omega \\) 在转换时具有系数 \\( 2\pi \\) 而已。如果使用的不是角频率 \\( \omega \\) 而是频率 \\( f \\) ，那么积分和频谱密度函数确实没有 \\( 2\pi \\) 这样的系数，但是在表示复指数的辐角时仍然会出现 \\( 2\pi \\)

此外，傅里叶反变换积分前的系数 \\( \frac 1{2\pi} \\) 也可以放在傅里叶正变换中，甚至可以拆成两半分别放在正变换和反变换之前。不过通常约定放在反变换前。

傅里叶变换是一种积分变换，它将一个单变量的函数 \\( f(x) \\) 变换为了另一个单变量的函数 \\( F(\omega) \\) ，两者共同构成了一个傅里叶变换对(Fourier transform pair)，可以简记为：

\\[ f(x) \xLeftrightarrow{\;\mathcal F} F(\omega) \\]

两者完全等价，但各有特点。

和傅里叶级数一样，函数需要满足一定的条件才存在傅里叶变换。这里简单叙述一个充分条件：

若函数 \\( f(x) \\) 在 \\( \mathbb R \\) 上满足：

在任意有限区间上满足狄利克雷充分条件

绝对可积，即 \\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)| \dd x \\) 收敛

则 \\( f(x) \\) 的傅里叶变换存在。

%% 傅里叶变换的意义 %%

参考资料/延伸阅读

But what is a Fourier series? From heat flow to drawing with circles - 3Blue1Brown - YouTube

But what is the Fourier Transform? A visual introduction - 3Blue1Brown - YouTube

傅里叶变换究极入门课程 - 喵星考拉的视频 - bilibili