傅里叶级数与傅里叶变换

在数学中，将一个复杂的函数展开为使用简单函数表示的级数是一种很常见的处理方法。通过研究展开后的初等函数，可以简化函数的计算并展示函数的内在性质。

泰勒展开式是一种将函数展开为多项式级数的方式，多项式级数方便了函数的数值计算与无穷小分析。但是泰勒展开式有较大的局限性：

泰勒展开式要求函数具有无限阶（或者在损失一定精度的情况下至少要有 \\( n \\) 阶），但这是很难保证的，特别是许多函数不可导甚至不连续
虽然泰勒展开的多项式在收敛域内和原函数吻合，但在仅展开为有限多项的情况下，在远离 \\( x_0 \\) 时余项误差较大

这就需要另一种级数展开方法来克服这些缺陷。

19 世纪初，法国数学家和工程师 Fourier 在研究热传导问题时，找到了在有限区间上用三角级数表示一般函数 \\( f(x) \\) 的方法，即所谓的傅里叶级数。傅里叶级数主要讨论将周期函数展开为三角级数形式的问题。

函数的分解理论

函数的分解理论为傅里叶级数提供了线索。

向量的正交分解

在研究向量的时候，常常将向量分解为两个正交的基向量表示：

这样，平面中任意向量 \\( \Vec v \\) 都可以表示为两个不为零的正交向量的线性组合：

\\[ \Vec v = k_1 \Vec v_1 + k_2 \Vec v_2 \\]

在三维空间中也是类似的情况，如果三个向量 \\( \Vec v_1, \Vec v_2, \Vec v_3 \\) 两两垂直且均不为零向量，那么它们可以用于表示三维空间中的任意一个向量。并且在三维空间中，表示任意一个向量必须要三个正交的非零向量，只有两个正交向量是不够的。在三维空间中，称向量集合 \\( \{ \Vec v_1, \Vec v_2, \Vec v_3 \} \\) 构成一个完备的正交向量集，因为这个集合内的向量不仅两两正交，而且在这个集合外再也找不到一个非零向量与它们均正交。

类似地，在 \\( n \\) 维空间中，必须用至少 \\( n \\) 个向量才能表示空间中的任意向量，并且只有 \\( n \\) 个两两正交的非零向量 \\( \Vec v_1, \Vec v_2, \dots, \Vec v_n \\) 构成的正交向量集 \\( \{ \Vec v_1, \Vec v_2, \dots, \Vec v_n \} \\) 才是完备的。这样一来，任意一个 \\( n \\) 维向量都可以表示为它们的线性组合。

这里倾向于使用正交分解的一个特点是：正交分解具有最小的误差，如果仅将向量 \\( \Vec v \\) 分解为 \\( \Vec v_1 \\) 方向上的分量，为了使另一个分量（这里称为误差分量）\\( \Vec v_e \\) 长度最小，那么就需要使 \\( \Vec v_1 \\) 与 \\( \Vec v_e \\) 正交：

借助平面向量的知识，可以借助如下公式求出 \\( \Vec v_1 \\) 方向分量的系数：

\\[ c_1 = \frac {\Vec v_1 \cdot \Vec v_2}{\Vec v_2 \cdot \Vec v_2} \\]

这就是向量空间中的正交向量与向量的正交分解的概念。

函数的正交分解

向量正交分解的概念可以进一步推广到函数中。

在平面向量中，判断两个向量正交的方法为：如果两个向量正交，那么这两个向量的点积为 0 ，即：

\\[ \Vec v_1 \cdot \Vec v_2 = 0 \\]

（实）函数的正交指的是两个函数的乘积在区间内积分值为 0 ，即：

\\[ \int_{x_1}^{x_2} f_1(x) \cdot f_2(x) \dd x = 0 \\]

那么称函数 \\( f_1(x) \\) 和 \\( f_2(x) \\) 在区间 \\( (x_1, x_2) \\) 内正交。函数的正交依赖于它定义的区间，两个函数可能在某一区间内正交，而在另一区间内又不正交。

如果对一系列定义在 \\( (x_1,x_2) \\) 上的函数 \\( f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x) \\) 有

\\[ \int_{x_1}^{x_2} f_i(x) f_j(x) \dd x = \begin{cases} 0 & i \neq j \\ K_i \neq 0 & i = j \\ \end{cases} \\]

即所有函数之间均两两正交，则称 \\( \{ f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x) \} \\) 为正交函数集。这里要求 \\( \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f_i^2(x) \dd x \neq 0 \\) 的意义在于强调正交函数集中不包含零函数，虽然零函数与任意函数正交，但处理这样的问题是没有意义的。

进一步地，如果在正交函数集 \\( \{ f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x) \} \\) 之外，找不到另外一个非零函数 \\( f_{n+1}(x) \\) 与该函数集中的任意函数均存在正交关系，那么称该函数集构成了一个完备正交函数集。

类比完备向量集，可以推测完备正交函数集具有的一些性质。例如，如果 \\( \{ f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x) \} \\) 在区间 \\( (x_1,x_2) \\) 内是某一类函数的完备正交函数集，则任何一个该类函数都可以准确表示为 \\( \{ f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x) \} \\) 的线性组合，即：

\\[ f(x) = c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + \dots + c_n f_n(x) \\]

以上公式称为函数的正交分解式，其中 \\( c_i \\) 为函数分量的加权系数。该公式说明了可以利用一类函数的叠加来表达某一个函数，反过来也说明了一个函数可以展开为这类函数的级数，这为下文介绍的傅里叶级数奠定了基础。

这里在此基础上推导系数的求解方法。如果要用函数 \\( f_1(x) \\) 来近似 \\( f(x) \\) ，即表示为 \\( f(x) = c_1 f_1(x) + f_e(x) \\) 的形式，那么为了使两者最接近，需要使两者的均方误差最小，即取得最小的

\\[ \varepsilon^2 = \frac 1 {x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2} [f(x) - c_1f_1(x)]^2 \dd x \\]

之所以使用均方误差，是因为平方项可以消除符号的影响，防止较大的正误差与负误差发生抵消，以致不能正确反映两函数的近似程度。平方项的处理也比绝对值更简单。

为了求得具有最小均方误差时的系数，可以对它求导判断极值：

\\[ \frac {\dd \varepsilon^2}{\dd c_1} = 0 \\]

展开平方项并交换微分与积分次序的结果如下。注意这里是对变量 \\( c_1 \\) 求导，不包含 \\( c_1 \\) 项的导数为 0 ：

\\[ \frac 1 {x_2-x_1} \int _{x_1}^{x_2} \frac{\dd }{\dd c_1} \left[ f^2(x) - 2 c_1 f(x)f_1(x) + c_1^2 f_1^2(x) \right] \dd x = 0 \\]

继续求导并分离参数，这样就求得了具有最小误差时的系数：

\\[ c_1 = \frac {\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)f_1(x) \dd x }{\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f_1^2(x) \dd x } \\]

如果求得的 \\( c_1 \\) 为 \\( 0 \\) ，说明 \\( f(x) \\) 中根本不包含 \\( f_1(x) \\) 的分量，即两者正交。这进一步说明了两个函数正交的条件为 \\( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)f_1(x) \dd x = 0 \\) 。

进一步地，如果使用多个函数 \\( f_i(x) \\) 来近似 \\( f(x) \\) ，那么每个函数前系数的求解方法为：

\\[ c_i = \frac {\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)f_i(x) \dd x }{\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f_i^2(x) \dd x } \\]

求解过程是类似的，只不过将求导变成了求偏导。

周期函数和三角函数

周期运动是自然界中一种常见的运动形式，其特征为每隔一定时间运动过程将会重复。常见的周期运动包括单摆的摆动、行星的轨道运动和波的传播。

周期函数是周期运动的数学表述。周期函数的特点是存在一个正数 \\( T \\) ，使得 \\( f(x) = f(x+T) \\) ，这个正数 \\( T \\) 称为函数的周期(period)。

正弦函数是一类常见的周期函数，正弦函数可以用于描述波动、振动和旋转等基础的周期现象，因此在物理学、工程学和信号处理中的应用非常广泛。正弦函数使用数学公式描述为：

\\[ f(x) = A \sin (\omega x + \varphi) \\]

其中 \\( A \\) 表示振幅；\\( \omega \\) 表示角频率，反映了函数的变化速度；\\( \varphi \\) 表示初相位，反映了函数的初始状态。其中角频率和周期的换算关系为 \\( \omega = \dfrac{2 \pi}{T} \\) 。

三角函数有一些很有用的数学性质。例如，三角函数在任意一个周期上的积分均为 0 ：

\\[ \int_{x_0}^{x_0+T} A \sin (\omega x + \varphi) \dd x = 0 \\]

借助和角公式，可以将带有一定初相位的正弦函数转化为初相位为 \\( 0 \\) 的正弦函数和余弦函数的和：

\\[ \sin(x \pm \theta) = \cos\theta \sin x \pm \sin\theta \cos x \\]

这样就不用再考虑初相位的问题了。

三角函数集

上一节简单回顾了三角函数，由以下所有三角函数构成的集合称为三角函数集：

\\[ \{1, \cos x, \cos 2x, \dots, \cos nx, \sin x, \sin 2x, \dots, \sin nx \} \\]

这些函数的特点是均以 \\( 2\pi \\) 为周期（特别地，\\( 1 \\) 可以表示为 \\( \cos 0x \\) ），并且根据积化和差公式，其中任意两个函数相乘的结果也由这个三角函数集中的函数构成，因此也以 \\( 2\pi \\) 为周期：

\\[ \cos mx \cos nx = \frac 1 2 [\cos (m+n)x + \cos (m-n)x] \\]

因此，三角函数系在任意一个长度为 \\( 2\pi \\) 的区间上都是正交函数集，即任意两个不同的函数乘积在区间 \\( [-\pi, \pi] \\) 的积分都为 0 ：

\\[ \begin{gather} \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \dd x = \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \dd x = \begin{cases} 0 & m\neq n \\ \pi & m=n \end{cases} \quad m,n = 1, 2, 3, ... \\ \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \sin nx \dd x = 0 \quad m = 0, 1, 2, ...; n = 1, 2, 3, ... \\ \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cdot 1 \dd x = \begin{cases} 0 & m\neq 0 \\ 2\pi & m=0 \end{cases} \quad m,n = 0, 1, 2, ... \\ \end{gather} \\]

根据周期函数的性质，以上积分结果在任意一个长度为 \\( 2\pi \\) 的区间上都相同。但为了研究方便，一般在 \\( [-\pi, \pi] \\) 上积分。

傅里叶级数

展开成傅里叶级数

根据前文介绍的内容，三角函数集是一个正交函数集。由三角函数集内所有三角函数线性组合构成的级数称为三角级数：

\\[ a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx + b_n\sin nx) \\]

三角级数的周期总是 \\( 2\pi \\) 的，那么如果三角函数集是完备的话，一个周期为 \\( 2\pi \\) 的周期函数，是否可以表示为三角级数的形式？这里假定这样的函数可以展开为三角级数的形式，即：

\\[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx + b_n\sin nx) \\]

接下来先尝试求解加权系数，再讨论函数可以展开的条件。

利用三角函数的正交性，对等式两端逐项积分得（这里假定级数收敛，对级数的积分可以转为逐项积分）：

\\[ \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \dd x = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \dd x + \sum_{n=1}^{\infty} \bigg[ \int_{-\pi}^{\pi} a_n\cos nx \dd x + \int_{-\pi}^{\pi} b_n\sin nx \dd x \bigg] \\]

由于三角函数在周期内的积分值为 0 ，因此以上积分只剩下对常数函数的积分，这样就可以求得常数项的值为：

\\[ a_0 = \frac 2 {\pi} \int _{-\frac T 2}^{\frac T 2} f(x) \sin (n \omega x ) \dd x \\]

为了求出其余的参数，可以利用三角函数系的正交性，在等式两端同时乘以 \\( \cos mx \\) 再积分，这样除了 \\( m = n \\) 的那一项，其余项的积分均为 0 ，就可以求解出该项的参数了：

\\[ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos mx \dd x &= \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \cos mx \dd x + \sum_{n=1}^{\infty} \bigg[ \int_{-\pi}^{\pi} a_n\cos nx \cos mx \dd x + \int_{-\pi}^{\pi} b_n\sin nx \cos mx \dd x \bigg] \\ &= \int_{-\pi}^{\pi} a_n\cos nx \cos mx \dd x + 0 \qquad (m=n) \end{align} \\]

从而得到：

\\[ a_n = \frac 1 {\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (nt) \dd x \qquad (n=1,2,3,...) \\]

类似地，在等式两端同时乘以 \\( \sin mx \\) 再积分，这样除了 \\( m = n \\) 的其余项的积分均为 0 ，可以求解出对应项的参数：

\\[ b_n = \frac 1 {\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (nx) \dd x \qquad (n=1,2,3,...) \\]

为了使系数拥有统一的表达式，一般将常数项写作 \\( \dfrac{a_0}2 \\) ，这样系数的计算公式可以统一表示为：

\\[ \begin{align} & a_n = \frac 1 {\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (nx) \dd x && (n=0,1,2,3,...) \\ & b_n = \frac 1 {\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (nx) \dd x && (n=1,2,3,...) \end{align} \\]

通过上面两式，可以将一个周期为 \\( 2\pi \\) ，并在 \\( [-\pi,\pi] \\) 上可积或绝对可积的函数展开为三角级数：

\\[ f(x) \rightarrow a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx + b_n\sin nx) \\]

这样的三角级数称为函数的傅里叶级数，相应的系数称为傅里叶系数。这里并没有使用等号，是因为不知道级数是否收敛；即使收敛，也不知道它是否收敛为 \\( f(x) \\) 。

需要注意的是，虽然傅里叶级数要求被展开函数是周期函数，但对于定义在有限区间内的非周期函数，可以采用解析延拓的方式，即通过补充定义使函数将函数的定义域扩展到整个实数域上成为周期函数。这种延拓方式也称周期延拓。

不过在实践时，解析延拓可以是在观念上的，因为实际积分区间长度只发生在一个周期内，将计算得到的级数限定在对应区间内就是原函数在有限周期内的傅里叶级数展开式。

接下来看一个示例，将方波 \\( \displaystyle f(x) = \begin{cases} \pi & x \in \lbrack -\pi, 0 \rbracp \\ 0 & x \in \lbrack 0, \pi \rbracp \end{cases} \\) 展开为傅里叶级数：

这样的函数甚至不连续，因此根本无法使用泰勒展开式。接下来看看使用傅里叶级数的展开效果。

先计算各系数如下：

\\[ \begin{align} a_0 &= \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \dd x = \pi \\ a_n &= \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \dd x = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{0} \pi \cdot \cos nx \dd x = \frac 1 n \sin nx \bigg|_{-\pi}^0 = 0 \\ b_n &= \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \dd x = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{0} \pi \cdot \sin nx \dd x = - \frac 1 n \cos nx \bigg|_{-\pi}^0 = \frac{(-1)^n-1}{n} \end{align} \\]

于是得到 \\( f(x) \\) 的展开式为：

\\[ \begin{alignedat}{2} f(x) &\rightarrow&& \frac \pi 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n-1}n \sin nx \\ &&& = \frac \pi 2 - 2 \left( \sin x + \frac{\sin 3x}3 + \frac{\sin 5x}5 + \cdots + \frac{\sin (2n+1)x}{2n+1} + \cdots \right) \end{alignedat} \\]

以下展示了 \\( f(x) \\) 的展开式在前几项的逼近情况（部分和）：

从图中可以看到，傅里叶级数的收敛情况很不错，前几项的部分和就基本接近原函数的值；只是当 \\( x=n\pi \\) 时，级数收敛于 \\( \dfrac{\pi}2 \\) ，而不是 \\( f(x) \\) 。

收敛条件

上文看到了周期为 \\( 2\pi \\) 的函数 \\( f(x) \\) 如果在一个周期上绝对可积，那么它可以展开为傅里叶级数。但前文并没有说明傅里叶级数的收敛性，这里补充一个收敛定理，这个定理的证明非常复杂，具体可以参考数学分析的相关书籍。

狄利克雷(Dirichlet)充分条件描述了傅里叶级数的收敛性。设 \\( f(x) \\) 是周期为 \\( 2\pi \\) 的周期函数，如果它满足以下条件：

在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点

在一个周期内只有有限个极值点

那么 f(x) 的傅里叶级数收敛，并且收敛于 \\( \dfrac 1 2 [f(x^-)+f(x^+)] \\) 。

换句话说，若 \\( f(x) \\) 的幅值、间断、振动都是有限的，则 \\( f(x) \\) 的傅里叶级数在函数的连续点处就收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的算术平均值。

物理和工程中出现的函数一般都满足以上充分条件，因此可以表示为傅里叶级数。最后要说明的是，傅里叶级数的收敛性是一个很复杂的问题，甚至至今都没有找到能判断傅里叶级数敛散性的充分必要条件。

以上傅里叶展开的系数计算公式只能用于 \\( f(x) \\) 的周期为 \\( 2\pi \\) 的情况。但很多时候，\\( f(x) \\) 的周期未必都为 \\( 2\pi \\) 。要解决这个问题也很简单，只要通过换元 \\( x = \dfrac {2\pi}{T} t \\) ，将函数伸缩到周期为 \\( 2\pi \\) 处理即可。

由此可以得到任意周期函数的傅里叶级数展开式：

对于任意周期为 \\( T \\) 的周期函数 \\( f(x) \\) ，记 \\( \Omega=\dfrac{2\pi}T \\) ，则 \\( f(x) \\) 可以展开为

\\[ f(x) = \frac {a_0}2 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n\cos (n\Omega x) + b_n\sin (n\Omega x)] \\]

的傅里叶级数形式，其中各系数的计算公式如下：

\\[ \begin{align} a_0 &= \frac 2 T \int _{x_0}^{x_0 + T} f(x) \dd x \\ a_n &= \frac 2 T \int _{x_0}^{x_0 + T} f(x) \cos (n \Omega x ) \dd x \\ b_n &= \frac 2 T \int _{x_0}^{x_0 + T} f(x) \sin (n \Omega x ) \dd x \\ \end{align} \\]

一般情况下，计算时积分区间取 \\( [0, T] \\) 或 \\( [-\dfrac T 2, \dfrac T 2] \\) 即可。

正弦级数和余弦级数

上一节的示例将方波展开为傅里叶级数，并且展开的级数只包含常数分量和正弦分量。根据正弦函数的奇偶性，如果 \\( f(x) \\) 是奇函数，那么它展开的傅里叶级数只包含正弦函数，称为正弦级数：

\\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin nx \\]

类似地，若 \\( f(x) \\) 是偶函数，那么它展开的傅里叶级数只包含余弦函数，称为余弦级数：

\\[ f(x) = \frac{a_0}2 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos nx \\]

接下来看一个示例，将函数 \\( f(x) = x \quad x \in [0, \pi] \\) 展开为傅里叶级数：

对于这样的函数，在周期延拓前，可以先将其延拓为奇函数或偶函数再计算系数。

首先可以将其延拓为偶函数，从而计算得到的是余弦级数：

\\[ \hat f(x) = \begin{cases} -x & x \in \lbrack -\pi, 0 \rbracp \\ x & x \in \lbrack 0, \pi \rbracp \\ \end{cases} \\]

代入余弦级数的公式得：

\\[ \begin{align} a_0 &= \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \dd x = \frac 2 \pi \int_{0}^{\pi} x \dd x = \frac{x^2}{\pi} \bigg|_0^{\pi} = \pi \\ a_n &= \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \dd x = \frac 2 \pi \left( \frac{x\sin nx}n \Bigg|_0^{\pi} - \frac 1 n \int_o^{\pi} \sin nx \dd x \right) \\ &= \frac 2{\pi} \left( \frac{\cos nx}{n^2} \Bigg|_0^{\pi} \right) = 2 \frac{(-1)^n-1}{n^2\pi} \\ b_n &= 0 \end{align} \\]

因此 \\( f(x) \\) 的余弦级数为：

\\[ \begin{alignedat}{2} f(x) &\rightarrow&& \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n-1}{n^2} \cos nx \\ &&& = \frac \pi 2 - \frac 4 \pi \left( \sin x + \frac{\sin 3x}{3^2} + \frac{\sin 5x}{5^2} + \cdots + \frac{\sin (2n+1)x}{(2n+1)^2} + \cdots \right) \\ \end{alignedat} \\]

再看正弦级数的情况。将 \\( f(x) \\) 解析延拓为：

\\[ \hat f(x) = x \quad x \in \lbracp -\pi, \pi \rbrack \\]

那么对应系数的计算公式为：

\\[ \begin{align} a_n &= \frac 1 \pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \dd x = \frac 2 \pi \left( \frac{x\sin nx}n \Bigg|_0^{\pi} - \frac 1 n \int_0^{\pi} \sin nx \dd x \right) \\ &= \frac 2{\pi} \left( \frac{\cos nx}{n^2} \Bigg|_0^{\pi} \right) = 2 \frac{(-1)^n-1}{n^2\pi} \\ b_n &= 0 \end{align} \\]

因此 \\( f(x) \\) 的正弦级数为：

以下对比了将 \\( f(x) \\) 分别展开为余弦和正弦级数的情况：

对比之下可以看到，同一个函数的不同展开方式，虽然最终在 \\( \lbrack 0, \pi \rbracp \\) 内都会收敛为原函数，但是它们部分和的逼近情况则完全不同。

吉布斯现象

吉布斯现象(Gibbs phenomenon)指的是当用有限项傅里叶级数逼近一个具有不连续点的周期性函数时，在不连续点附近出现的振荡现象。

由于三角函数是连续的，因此由有限个三角函数构成的傅里叶级数在接近不连续点时，无法完美地过渡，导致傅里叶级数在不连续点前出现*过冲*。随着级数项数的增加，过冲的区域变窄，但过冲的幅度不会变小，而是始终存在，并趋于某个固定的极限。

傅里叶分析理论可以证明，这个极限约为实际跳跃值的 \\( 9\% \\) 。

从傅里叶级数到傅里叶变换

傅里叶级数的频率分析

非周期函数的展开

如果一个函数不是周期函数，实际上傅里叶展开也是可用的，最后要说明的是，三角函数集并不是唯一满足条件的完备正交函数集。复指数函数集 \\( \{ e^{in\omega x} \} \\) 、函数集 \\( \\) 均为

傅里叶变换

傅里叶变换的意义

傅里叶变换的核心思想是将一个复杂的信号（通常在时域或空域表示）分解为其组成成分——不同频率的正弦波（或复指数函数）。这种分解带来了许多深刻的意义：揭示信号的本质特性：许多信号在时域看起来杂乱无章，但在频域中其结构可能非常清晰。傅里叶变换让我们能看到信号的“频谱”，即哪些频率成分占据主导，它们的强度和相位如何。这对于理解信号的内在特性至关重要。能够发现时域中不易察觉的周期性、谐波关系以及噪声成分。在系统分析中，在时域上处理输入比较麻烦，但在频域中处理可能会变得非常简便；特别是以上提到的。简化，（尤其是线性时不变系统）在时域中，LTI系统对输入信号的响应是通过卷积运算得到的，这在数学上比较复杂。然而，在频域中，这个卷积运算变成了简单的乘法运算。即 Y(ω)=H(ω)X(ω)，其中 X(ω) 是输入的频谱，H(ω) 是系统的频率响应（系统传递函数的傅里叶变换），Y(ω) 是输出的频谱。系统设计与理解：通过频率响应 H(ω)，我们可以直观地理解系统如何处理不同频率的信号（例如，哪些频率被放大，哪些被衰减——滤波器的基础）。在信息处理与传输中，的基础：调制与解调：现代通信系统（如广播、Wi-Fi、移动通信）依赖于将低频信息信号调制到高频载波上进行传输。傅里叶变换是理解和设计这些调制解调方案的核心。多路复用：频分复用 (FDM) 允许在同一信道中传输多个信号，每个信号占据不同的频段，这正是基于频域的划分。在数据压缩中，许多信号的能量主要集中在少数几个频率分量上。傅里叶变换可以识别这些重要的频率分量，从而可以舍弃或用较少比特表示那些不重要的分量，实现数据压缩（例如JPEG图像压缩中的离散余弦变换，它是傅里叶变换的一种变体）。解决数学和物理问题：傅里叶变换是求解某些偏微分方程（如热传导方程、波动方程）的有力工具，可以将复杂的微分运算转化为代数运算。傅里叶变换的应用 (Applications) 傅里叶变换的应用几乎渗透到所有科学和工程领域：信号处理：音频处理：均衡器 (Equalizers)：增强或减弱特定频段的声音。噪声消除：识别并滤除特定频率的噪声（如交流电的50/60Hz嗡嗡声）。语音识别与合成：分析语音信号的频谱特征。音乐分析与合成：识别音高、音色，合成乐器声音。图像处理：滤波：图像的平滑（低通滤波）、锐化（高通滤波）、边缘检测。图像压缩： JPEG格式就利用了离散余弦变换（DCT，与傅里叶变换密切相关）。模式识别：通过分析图像的频率成分来识别特征。医学成像： MRI（核磁共振成像）和CT（计算机断层扫描）的图像重建算法中，傅里叶变换是核心步骤。通信工程：无线通信： OFDM（正交频分复用）技术，广泛用于Wi-Fi、4G/5G移动通信、数字电视广播等，其基础就是将数据分配到大量正交的子载波频率上传输。频谱分析：监测无线电频谱，避免干扰，管理频率资源。雷达与声纳：通过分析反射信号的频谱来确定目标的速度（多普勒效应）和距离。在物理学中，光谱学：通过分析物质发射、吸收或散射的光的频谱来确定其化学成分、温度、压力等信息（例如天文学中分析星光的成分）。量子力学：位置波函数和动量波函数通过傅里叶变换相互关联。晶体学： X射线衍射图样是晶体结构的傅里叶变换，用于解析晶体结构。光学：夫琅禾费衍射图样是光阑函数的傅里叶变换。机械工程与土木工程：振动分析：分析机器或结构的振动信号，识别固有频率、共振现象，进行故障诊断和结构健康监测。声学分析：噪声控制，建筑声学设计。地球物理学与天文学：地震数据分析：分析地震波的频谱，了解地球内部结构，定位震中。射电天文学：射电望远镜阵列收集的数据通过傅里叶变换合成图像。计算工具：虽然傅里叶变换本身是连续的数学概念，但在实际应用中，我们通常使用其离散形式——离散傅里叶变换 (DFT)，以及高效计算DFT的算法——快速傅里叶变换 (FFT)。FFT的出现使得傅里叶变换能够在计算机上快速实现，极大地推动了其在各个领域的广泛应用。总结来说，傅里叶变换提供了一种强有力的“语言”，让我们能够从频率的视角去观察、理解和操纵世界。它不仅是一个数学工具，更是一种深刻的思维方式，其重要性不言而喻。

复变函数的正交性

前文介绍的函数正交性的定义只适应于实函数。对于复变函数，正交性的定义如下：

若在区间 \\( [x_1,x_2] \\) 内，复变函数集 \\( \{ g_r(x) \} \\) 满足：

\\[ \begin{cases} \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} g_i(x) g_j^*(x) \dd x = 0 & i \neq j \\ \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} g_i(x) g_i^*(x) \dd x = K_i \neq 0 \\ \end{cases} \\]

其中 \\( g_r^*(x) \\) 为 \\( g_r(x) \\) 的共轭，则称复变函数集 \\( \{ g_r(x) \} \\) 为正交函数集。其中相关系数的求法为：

\\[ c_r = \frac {\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x) g_r^*(x) \dd x} {\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} g_r(x) g_r^*(x) \dd x} \\]