复数的基本概念

复数的由来

复数的历史最早可以追溯到人们对多项式方程求解的研究。

如果要求解一次多项式方程 \\( ax+b=0 \\) ，那么对等式两边同时做简单的四则运算，很容易就可以得出它有唯一根 \\( x=-\dfrac{b}{a} \\) 。这里要求 \\( a\neq 0 \\) ，因为 \\( a=0 \\) 时，原方程变为 \\( b=0 \\) ，这个方程要么无解，要么有无穷多解。结合图像来看，\\( ax+b=0 \\) 的根可以视为平面上的直线 \\( y=ax+b \\) 与 \\( y=0 \\) 的交点横坐标，如果 \\( a=0 \\) ，则直线 \\( y=ax+b \\) 变为水平直线 \\( y=b \\) ，它和 \\( y=0 \\) 要么平行，要么相交，这和代数方法得出的结果是相同的。

如果要求解二次多项式方程 \\( ax^2+bx+c=0 \; (a\neq 0) \\) ，这时方程的根就不能对方程通过简单的四则运算变换得到。求解一元二次方程的标准方法是配方法，它的原理是通过常数项将二次多项式变为一个一次多项式的平方，然后对两边开方将其变为一次多项式的求解：

\\[ \begin{aligned} ax^2+bx+c &=0 \\ x^2+\dfrac ba x + \dfrac ca &=0 \\ x+\dfrac ba x + \dfrac {b^2}{4a^2} &= - \dfrac ca + \dfrac {b^2}{4a^2} \\ \left( x+\dfrac b{2a} \right)^2 &= \dfrac {b^2}{4a^2} - \dfrac ca \\ x+\dfrac b{2a} &= \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x &= \dfrac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \end{aligned} \\]

在求解二次方程的时候，涉及到了开平方根的运算。由于一个数和它的相反数的平方相同，因此对一个数开平方根会得到两个结果。

这里有一个问题：如果在应用公式时，出现对负数开平方根会怎样？看起来，不管是正数、负数还是零的平方都不可能是负数，那么对一个数开平方应该是没有意义的。例如，求解方程 \\( x^2-2x+3=0 \\) 时，应用以上公式可以得到两个解 \\( x_{1,2}=-1\pm\dfrac{\sqrt{-8}}2 \\) 。这里出现了对负数开根号，看起来无法应用以上公式求解；而从图像上看，\\( y=x^2 \\) 和 \\( y=2x-3 \\) 的图线没有任何交点，这说明原方程应该确实是无解的。

这里将公式中平方根下的项 \\( \Delta=b^2−4ac \\) 为二次方程的判别式。如果判别式为负，那么公式中出现了对负数开平方根这一信号，说明原方程无解，就没有继续算下去的必要了。

到目前为止，一切似乎是正常的，下面继续研究三次方程的求解。

16 世纪时，意大利数学家卡尔丹(Gerolamo Cardano)在前人费罗(Scipione del Ferro)和塔尔塔利亚(Niccolò Fontana "Tartaglia")的基础上，在其著作《大术(Ars Magna)》中系统性地提出了三次方程的解法，他的方法是这样的：

卡尔丹首先做了一件事：对与任意形如 \\( ax^3+bx^2+cx+d (a\neq 0) \\) 的三次方程，可以通过换元 \\( y=x+\dfrac b{3a} \\) 去掉二次项，变为

\\[ y^3+py+q \\]

的形式，其中变换后的系数为：

\\[ \begin{gathered} p = \frac ca - \frac {b^2}{3a^2} \\ q = \frac {2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2} + \frac d a \end{gathered} \\]

卡尔丹注意到三次方程的配方：

\\[ (u+v)^3 = u^3+3u^2v+3uv^2+v^3 \\]

变形得：

\\[ (u+v)^3 - 3uv(u+v) - u^3-v^3 = 0 \\]

如果令 \\( y=u+v \\) ，则以上消去二次项的三次方程可以视为一个配方后的三次方程，比较得：\\( p=-3uv, \,q=-u^3-v^3 \\)

接下来从这两个方程出发求解 \\( u \\) 和 \\( v \\) 。由 \\( p=-3uv \\) 得 \\( u^3v^3 = -\dfrac {p^3}{27} \\) ，再结合 \\( u^3+v^3=−q \\) ，应用韦达定理得 \\( u^3 \\) 和 \\( v^3 \\) 可以看作是某个二次方程 \\( t^2 - (-q)t + \left(-\dfrac{p^3}{27}\right) = 0 \\) 的两个根。使用以上二次方程求根公式即可解出 \\( t_{1,2} \\) (即 \\( u^3 \\) 或 \\( v^3 \\))：

\\[ t_{1,2} = \frac{ -q \pm \sqrt{ q^2 + 4 \left( \dfrac p3 \right) ^3 }} { 2 } \\]

这里求解的是 \\( u^3 \\) 和 \\( v^3 \\) ，那么再开立方根就可以得到 \\( u \\) 和 \\( v \\) 了：

\\[ \begin{aligned} u = \sqrt[3]{ -\frac q 2 + \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 } } \\ v = \sqrt[3]{ -\frac q 2 - \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 } } \\ \end{aligned} \\]

由于 \\( p,q \\) 都是已知系数，最后将求解得到的 \\( u,v \\) 变换回 \\( y \\) 再变换回 \\( x \\) ，就可以得到更为一般的三次方程的求解公式。

例如，求解方程 \\( x^3-6x-6=0 \\) ，这是一个已经消去二次项的三次方程，代入以上公式得 \\( p=−6,\,q=−6 \\) ，解得 \\( u=\sqrt[3]{-(-3)+\sqrt 1}=\sqrt[3]{4} \\) ，\\( u=\sqrt[3]{-(-3)-\sqrt 1}=\sqrt[3]{2} \\) ，那么方程有解 \\( x=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\approx 1.5874+1.2599≈2.8473 \\) 。从图像上看，\\( f(x)=x^3-6x-6 \\) 确实在 \\( 2.8 \\) 附近有一个零点，这证明卡尔丹公式应该是正确的。

在卡尔丹提出以上公式后，庞贝利(Rafael Bombelli)发现了一些问题。庞贝利在使用卡尔丹公式求解类似 \\( x^3-15x-4=0 \\) 这样的三次方程时，得到的解为：

\\[ x = \sqrt[3]{ 2+\sqrt{-121}} + \sqrt[3]{ 2-\sqrt{-121} } \\]

公式中出现了对负数开根号的操作，这似乎意味着该方程无解。但是从图像上看，\\( y=x^3-15x-4 \\) 应该有 3 个零点，这就意味着方程应该有 3 个解，并且容易验证 \\( x_1=4 \\) 是方程的一个解。但是这个公式到底哪里出现了问题，以致于它错误地展示了无解的信号？

庞贝利随后提出了一个猜想：以上公式的推导并没有问题，而是出现负数根式并不意味着方程就无解。是否可以暂时承认负数根式的存在，使得这个公式进一步化简的结果确实是方程的解？

具体来说，如果接受 \\( \sqrt{-1} \\) 的存在，并规定 \\( (\sqrt{-1})^2=-1 \\) ，庞贝利找到了两个看起来很合理的公式：

\\[ \begin{gathered} \begin{aligned} (2+\sqrt{-1})^3 &= 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{-1} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{-1})^2 + (\sqrt{-1})^3 \\ &= 2 + 11 \cdot\sqrt{-1}\\ &= 2 + \sqrt{-121} \end{aligned}\\ \begin{aligned} (2-\sqrt{-1})^3 &= 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{-1} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{-1})^2 + (\sqrt{-1})^3 \\ &= 2 - 11 \cdot\sqrt{-1}\\ &= 2 - \sqrt{-121} \end{aligned} \end{gathered} \\]

如此一来，进一步化简之后，负根式正好抵消了，并且得到了正确的解 \\( 4 \\) ：

\\[ \begin{aligned} x &= \sqrt[3]{ 2+11\sqrt{-1} } + \sqrt[3]{ 2-11\sqrt{-1} } \\ &= (2 + \sqrt{-1}) + (2 - \sqrt{-1}) \\ &= 4 \end{aligned} \\]

在整个过程中，\\( \sqrt{-1} \\) 以一种虚幻的、纯粹符号的形式参与了运算。尽管当时庞贝利并没有承认 \\( \sqrt{-1} \\) 的存在，而是认为它“只是一个用于计算的技巧”（因此被称为“虚数”），但庞贝利的工作表明，通过严格遵循代数运算法则来操作这些包含 \\( \sqrt{-1} \\) 的表达式，它们并非毫无用处的“没有意义的数”，而是作为一种必要的计算工具，能够借助它得到一个完全实数的、正确的解。这被称为三次方程求解的“不可约情形”(casus irreducibilis)，即当三次方程有三个不相等的实根时，卡尔丹公式不可避免地会通过对负数开平方根来表达这些实根。

庞贝利的发现是革命性的，它极大地推动了数学家们开始认真思考和研究这类“想象中的数”的性质和运算法则，为复数理论的诞生和发展奠定了基础。

复数的定义和表示

复数(complex number)是同时包含实数和虚数的数，可以表示为单位实数和单位虚数的线性组合，表示为 \\( z=x+yi \\) 。分别称实数 \\( x \\) 和实数 \\( y \\) 为 \\( z \\) 的实部和虚部，记为 \\( x=\Re(z) \\) 和 \\( y=\Im(z) \\) 。

如果复数的虚部为 0 ，那么复数就退化为了实数；如果复数的实部为 0 ，这样的数称为纯虚数。全体复数集合记为 \\( \mathbb{C} \\)

全体实数可以使用一条一维的数轴来表示，所有的实数与数轴上的点一一对应；而复数可以视为一对有序实数 \\( (x,y) \\) ，因此需要使用一个二维平面来表示。这样的平面称为复平面(complex plane)，其中水平的轴线称为实轴，竖直的轴线称为虚轴，如下所示：

除了使用实轴和虚轴这种直角坐标系描述外，还可以使用极坐标系描述。复数对应点的极径称为复数的模，表示为 \\( r=|z|=\sqrt{x^2+y^2} \\) ；点的极角称为复数的辐角，表示为 \\( \Arg(z)=\theta+2k\pi \\)

特别地，\\( z=0 \\) 时的辐角 \\( \Arg(0) \\) 是没有意义的；当 \\( z\neq 0 \\) 时，它的辐角其实有无数个，它们彼此相差 \\( 2\pi \\) 的整数倍。为了方便起见，将 \\( (-\pi,\pi] \\) 中的那个辐角称为辐角主值，记为 \\( \arg(z)=\theta \\)

这样，复数还可以表示为如下所示的三角形式：

\\[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \\]

复数的模 \\( |z| \\) 的几何意义就是复数在复平面上对应的点到原点的距离，因此当复数的虚部为 0 时，它就自然地退化为了实数系中绝对值的概念。

下图总结了复数的两种表示方式：

所有复数与复平面的点一一对应。复平面的引入带来了复数的几何表示，可以更清楚地展示复数的各种运算性质。

复数的基本运算

一般情况下，两个复数间的关系只有相等的概念，两个复数相等当且仅当它们具有相同的实部和虚部。由于平面上的点没有严格的先后顺序，因此对复数的大小比较是没有意义的。

复数的加法和减法与[向量]类似，分别将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。设 \\( z_1=x_1+y_1i,\, z_2=x_2+y_2i \\) ，则

\\[ \begin{gathered} z_1+z_2 = (x_1+x_2) + (y_1+y_2) i \\ z_1-z_2 = (x_1-x_2) + (y_1-y_2) i \end{gathered} \\]

复数的乘法遵循多项式的乘法法则，并应用单位虚数的定义 \\( i^2=-1 \\) 。因此：

\\[ \begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &= (x_1x_2 + x_2 y_1 i + x_1y_2 i + y_1y_2i^2) \\ &= (x_1x_2 - y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1) i \end{aligned} \\]

而复数的除法可以视为对乘法的逆运算。在引入复数的除法公式前，先引入共轭复数(complex conjugate)的概念。对复数 \\( z=x+yi \\) ，它的共轭复数是 \\( \bar z =x-yi \\) ，即实部相等，虚部取反。从复平面上看，复数和它的共轭复数关于实轴对称：

共轭复数有一个很有用的性质：一个复数和它的共轭复数的乘积 \\( z\bar z = x^2+y^2 \\) 是一个实数。借助共轭复数的这个性质，可以采用类似根式分母有理化的方式，将分母中的复数变为实数，从而将结果表示为实部与虚部的线性组合。即：如果 \\( z_2\neq 0 \\) ，则

\\[ \dfrac {z_1}{z_2} = \dfrac {z_1\bar{z_2}}{z_2\bar{z_2}} = \dfrac {x_1x_2 + y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + \dfrac {-x_1y_2+x_2y_1}{x_2^2+y_2^2} i \\]

除此之外，共轭复数还具有以下性质：

\\[ \begin{gathered} \overline{ z_1\pm z_2 } = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} \ \overline{ z_1z_2 } = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \ \overline{ \left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) } = \dfrac{\overline {z_1}}{\overline {z_2}} \ z+\overline z = 2\Re (z) \ z-\overline z = 2\Im (z) \end{gathered} \\]

通过实部和虚部表示的复数乘法和除法，公式既复杂，看着也没什么规律。如果使用模和辐角表示的复数乘法，结果为：

\\[ \begin{aligned} z_1z_2 &= [ r_1 (\cos\theta_1 + i \sin\theta_1) ] \cdot [ r_2 (\cos\theta_2 + i \sin\theta_2)] \\ &= r_1r_2 (\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2 + i \sin\theta_1\cos\theta_2 + i\cos\theta_1\sin\theta_2) \\ &= r_1r_2 [\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)] \end{aligned} \\]

可以看到，两个复数乘法结果的模是两个复数模的乘积，辐角是两个复数辐角之和（因为辐角主值的和或差可能超过辐角主值的范围，这里应该表述为辐角而不是辐角主值）。

使用模和辐角表示时，复数的除法也有类似的规律：结果复数的模是原来两个复数模的商，辐角是原来两个复数辐角的差：

\\[ \begin{aligned} \dfrac{z_1}{z_2} &= \dfrac {z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}} = \dfrac{r_1r_2[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1 - \theta_2)]}{r_2^2} \\ & = \dfrac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)] \end{aligned} \\]

因此，复数的乘法和除法其实有直观的几何意义：如果将一个数乘以实数看成是一种缩放的话，那么一个数乘以复数相当于同时缩放和旋转这一个数：缩放的比例是复数的模，旋转的角度是复数的辐角；相反地，将一个数除以一个复数相当于对这个数实施与乘法相反的旋转和缩放。复数的这种特性使其非常适合处理三角函数的相位问题，这在描述物理学中的波动和振动时非常有用。

由复数的几何意义可以得出以下结论：

\\[ \begin{array}{ll} |z_1z_2| = |z_1\cdot z_2| & \left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \\ \Arg (z_1z_2) = \Arg(z_1) + \Arg(z_2) & \Arg \left( \dfrac{z_1}{z_2} \right) = \Arg(z_1) - \Arg(z_2) \end{array} \\]

如果复数的虚部为 0 ，那么复数的四则运算很自然地退化为实数的四则运算。

复数的乘幂和方根

根据复数乘法的规律及几何意义，可以很容易得到复数的乘幂规律：乘幂的模是原有复数模的相同次幂，乘幂的辐角是原有复数辐角的倍数。由此可以得到棣莫弗(De Moivre)公式：对任意 \\( n \in \mathbb{C} \\) ，有 \\( z^n = (a+b^i)^n = r^n [\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)] \\)

如果定义 \\( z^{-n} = \dfrac 1{z^n} \\) ，那么可以将乘幂推广到负整数的情况。例如当 \\( n=-1 \\) 时，\\( \left| \dfrac 1z \right| = \dfrac 1n \\) ，\\( \arg \dfrac 1z = \arg 1 - \arg z = -\theta \\) ，因此 \\( z^{-1} = \dfrac 1r (\cos\theta-i\sin\theta) \\)

本节仅讨论正整数次幂。

对于非零复数 \\( z \\) ，若存在复数 \\( w \\) 使 \\( z=w^n \\) ，则称 \\( w \\) 为复数 \\( z \\) 的 \\( n \\) 次方根，记为 \\( w=\sqrt[n]{z}=z^{\textstyle\frac 1n} \\) 。方根可以视为乘幂的逆运算。

为了求出根 \\( w \\) ，记 \\( z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \\) ，设 \\( w=\rho (\cos\phi + i\sin\phi) \\) ，有

\\[ \rho^n (\cos n\phi + i\sin\phi) = r(\cos\theta + i\sin\theta) \\]

于是 \\( \rho^n = r,\, n\phi=\theta+2k\pi \\) ，即 \\( \rho=r^{\textstyle\frac 1n},\, \phi=\dfrac \theta n + \dfrac {2k\pi}n \\) 。由于 \\( r \\) 是非负实数，这里 \\( r^{\textstyle\frac 1n} \\) 是算术根。因此可以得到 \\( w \\) 的表达式：

\\[ w = \sqrt[n]{z} = r^{\textstyle\frac 1n} \left( \cos \frac{\theta+2k\pi}n + i \sin \frac{\theta+2k\pi}n \right) \\]

观察该表达式，当 \\( k=0,1,2,\dots,n-1 \\) 时，可以得到 \\( n \\) 个不同的根；而当 \\( k \\) 取其它整数值时，以上的根会重复出现，例如 \\( k=n \\) 时，\\( w_n=w_0 \\) 。从几何上容易看出，\\( \sqrt[n]{z} \\) 的 \\( n \\) 个不同的根就是以原点为中心、\\( r^{\textstyle\frac 1n} \\) 为半径的圆的内接正 \\( n \\) 边型的 \\( n \\) 个顶点，任意两相邻根的辐角都相差 \\( \dfrac {2\pi} n \\)

在求解上文的三次多项式方程时，卡尔丹公式会得出如下结果：

\\[ x = u+v = \sqrt[3]{ 2+11i } + \sqrt[3]{ 2-11i } \\]

对于 \\( \sqrt[3]{ 2+11i } \\) ，之前已经发现它有一个根 \\( u_1=2+i \\) ，因为 \\( r=|2+i|=\sqrt{5} \\) ，那么剩下两个根同样是内接于原点为圆心、半径为 \\( \sqrt 5 \\) 的圆的内接正三角形的顶点，且与 \\( w_1 \\) 夹角为 \\( \dfrac{2\pi}3 \\) 。借助几何关系可得剩下两个根为 \\( u_2= \big( -1-\dfrac{\sqrt 3}2 \big) + i \big( \sqrt 3 - \dfrac 12 \big) \\) 和 \\( u_3 = \big( -1+\dfrac{\sqrt 3}2 \big) + i \big( -\sqrt 3 - \dfrac 12 \big) \\) ：

同理可得 \\( \sqrt[3]{ 2-11i } \\) 的三个根为 \\( v_1 = 2-i \\) 、\\( v_2= \big( -1+\dfrac{\sqrt 3}2 \big) + i \big( \sqrt 3 + \dfrac 12 \big) \\) 、\\( v_3 = \big( -1-\dfrac{\sqrt 3}2 \big) + i \big(\sqrt 3 - \dfrac 12 \big) \\) 。不过，卡尔丹公式要求求解出的两个根 \\( u,v \\) 满足 \\( p=−3uv \\) ，这里 \\( p=-15 \\) ，因此最终确定方程 \\( x^3−15x−4=0 \\) 的三个解为：

\\[ \begin{aligned} x_1 &= u_1 + v_1 = 4 \\ x_2 &= u_2 + v_2 = -2+\sqrt 3 \\ x_3 &= u_3 + v_3 = -2-\sqrt 3 \\ \end{aligned} \\]

欧拉公式

如果要问整个复变函数甚至整个数学最重要的几个公式，那么欧拉公式(Euler's formula)必然榜上有名。欧拉公式最早由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 在1748年发表于其著作《无穷小分析引论》(Introductio in analysin infinitorum) 中，它建立了指数函数与三角函数之间的桥梁，其形式简洁而深刻。

在实数下，\\( e \\) 指数函数的定义为：\\( e^x = \lim\limits_{n\to\infty} \left( 1+\dfrac xn \right)^n \\) 。仿照实数下的定义，将其推广到复数域中：

设 \\( z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta) \\) ，其中 \\( a,b,r=\sqrt{a^2+b^2},\theta=\arctan\dfrac ba \in\mathbb{R} \\) ，那么规定 \\( e^z = \lim\limits_{n\to\infty} \left( 1+\dfrac zn \right)^n = \lim\limits_{n\to\infty} \left( 1+\dfrac {a+bi}n \right)^n \\) 。由棣莫弗公式

\\[ \begin{gathered} \left( 1+\dfrac {a+bi}n \right)^n = \left[ \left( 1+\frac an \right) + i \frac bn \right]^n = r_n (\cos\theta_n + i\sin\theta_n) \\ r_n = \left[ \left( 1+\frac an \right)^2 + \left( \frac bn \right)^2 \right]^{\textstyle\frac n2}\\ \theta_n = n\arctan \left( \frac {\cfrac bn}{1+\cfrac an} \right) \end{gathered} \\]

对模长取对数再取极限得：

\\[ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \ln r_n &= \lim_{n\to\infty} \left[ \frac n2 \ln \left( 1+ \frac {2a}n + \frac{a^2+b^2}{n^2} \right) \right] \\ &= \lim_{n\to\infty} \left[ \frac n2 \left( \frac {2a}n + \frac{a^2+b^2}{n^2} \right) \right] \\ &= a \end{aligned} \\]

这里由于模长是实数，所以在 \\( x\to 0 \\) 取极限得过程中可以应用等价无穷小 \\( \ln(1+x)\sim x \\)

因此取极限的结果表明，模长趋于 \\( \lim\limits_{n\to\infty} r_n = \lim\limits_{n\to\infty} e^{\textstyle\ln r_n} = e^a \\)

另一方面，相位趋于 \\( \lim\limits_{n\to\infty} \theta_n = \lim\limits_{n\to\infty} \left[ n\arctan \left( \frac {\textstyle\frac bn}{\textstyle 1+\frac an} \right) \right] = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\textstyle n\cdot \cfrac bn}{\textstyle 1+\cfrac a n} = b \\)

因此根据定义，取极限的结果 \\( e^{a+bi} = \lim\limits_{n\to\infty} \left( 1+\dfrac {a+bi}n \right)^n = e^a(\cos b + i\sin b) \\)

令 \\( a=0 \\) ，即可得到欧拉公式：

\\[ \large\boxed{e^{ix} = \cos x + i\sin x} \\]

这个公式表明，虚指函数 \\( e^{ix} \\) 在复平面上也对应一个单位圆上的点，其辐角为 \\( x \\)

欧拉公式不仅将微积分中的指数函数 \\( e^x \\) 与几何和三角学中的三角函数 \\( \cos x \\) 和 \\( \sin x \\) 以及代数中的虚数单位 \\( i \\) 联系起来，使得许多复杂的三角恒等式可以通过欧拉公式轻松推导；而且给出了另一种表示任何复数 \\( z = x+iy \\) 的形式：\\( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta} \\) ，其中 \\( r = |z| \\) 是模长，\\( \theta = \arg(z) \\) 是辐角。这种指数形式（也是极坐标形式）在复数乘除、幂运算和对数运算中极为方便。欧拉公式构成了傅里叶分析的基石，在信号处理、电路分析（特别是交流电路）、振动与波等领域都有着广泛的应用。

特别地，再令 \\( x=\pi \\) ，移项后可以得到欧拉恒等式：

\\[ \large\boxed{e^{\pi i}+1=0} \\]

欧拉恒等式以极其简洁的方式将数学中五个最基本、最重要的常数联系在了一起：\\( 0,1,\pi,e \\) 和 \\( i \\) 。这个等式不仅展示了这些常数之间的深刻联系，也体现了数学的和谐与统一。

复平面上的点集拓扑初步

复数对应着复平面上的点，本节研究由复数或复平面上的点构成的集合，以及它们的联系，这是复变函数的基础。

复平面点集的一般概念

由于复平面 \\( \mathbb{C} \\) 上的点 \\( z=x+iy \\) 和笛卡尔平面 \\( \mathbb R^2 \\) 上的点 \\( (x,y) \\) 也是一一对应的关系，因此它们在很多层面上是等价的。例如，复数 \\( z \\) 的模 \\( |z|=x^2+y^2 \\) 即为 \\( \mathbb R^2 \\) 的点 \\( (x,y) \\) 到原点的欧几里得距离，而两个复数 \\( z_1=x_1+iy_1 \\) 和 \\( z_2=x_2+iy_2 \\) 差的模 \\( |z_1-z_2| = \sqrt{(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2} \\) 也是 \\( \mathbb R^2 \\) 的点 \\( (x_1,y_1) \\) 和 \\( (x_2,y_2) \\) 之间的欧几里得距离。由于“距离”这个基本概念是相同的，所以所有基于距离定义的拓扑概念，例如开集、边界点、连通集、区域、有界集等的定义和性质在 \\( \mathbb C \\) 和 \\( \mathbb R^2 \\) 中是完全平行的。下文简述这些概念在复数域中的定义：

点相关概念

在复平面上有一个点 \\( z_0 \\) ，以该点为圆心，任意正实数 \\( \epsilon \\) 为半径的圆，这个圆内但不包括圆周上的所有的点组成的集合，称为点 \\( z_0 \\) 的一个 \\( \epsilon \\)-邻域(neighborhood)，数学表示为 \\( N(z_0, \epsilon) := { z\in\mathbb{C} : |z-z_0| < \epsilon } \\) 。类似地可以定义去心邻域(deleted neighborhood)，即不包含中心点 \\( z_0 \\) 的邻域，表示为 \\( N^*(z_0, \epsilon) := { z\in\mathbb{C} : 0 < |z-z_0| < \epsilon } \\)

邻域是定义“局部性质”的基础。很多时候需要关心一个函数在一个点“附近”的行为，邻域给予这个“附近”一个精确的数学定义。

给定一个复平面上的点集 \\( S \\)（比如一个图形区域）。如果点 \\( z_0 \\) 属于集合 \\( S \\) ，并且能找到一个以 \\( z_0 \\) 为中心的足够小的 \\( \epsilon \\)-邻域，这个邻域完全包含在集合 \\( S \\) 内部，那么 \\( z_0 \\) 就是 \\( S \\) 的一个内点(interior point)。其数学表达为：点 \\( z_0\in S \\) 是 \\( S \\) 的内点 \\( \Leftrightarrow \\) \\( \exists \epsilon > 0 \\) 使得 \\( N(z_0,\epsilon)\in S \\) 。一个集合 \\( S \\) 所有内点的集合称为 \\( S \\) 的内部(interior)，记作 \\( S^\circ \\) 或 \\( \mathrm{int}(S) \\) 。

反之，如果点 \\( z_0 \\) 不属于集合 \\( S \\) ，并且能找到一个以 \\( z_0 \\) 为中心的足够小的 \\( \epsilon \\)-邻域，这个邻域完全不包含 \\( S \\) 中的任何点（也就是说，这个邻域完全在 \\( S \\) 的外部），那么 \\( z_0 \\) 就是 \\( S \\) 的一个外点(exterior point)，即点 \\( z_0 \\) 是 \\( S \\) 的外点 \\( \Leftrightarrow \\) 存在 \\( \epsilon > 0 \\) ，使得 \\( N(z0,\epsilon)\cap S=\varnothing \\) 。一个集合 \\( S \\) 所有外点的集合称为 \\( S \\) 的外部(exterior)，记作 \\( \mathrm{ext}(S) \\) 。

边界点(boundary point)是最特别的一类点。如果一个点 \\( z_0 \\)（它可能属于也可能不属于集合 \\( S \\) ）的任何一个 \\( \epsilon \\)-邻域都既包含属于 \\( S \\) 的点，又包含不属于 \\( S \\) 的点（即属于 \\( S \\) 外部的点），那么 \\( z_0 \\) 就是 \\( S \\) 的一个边界点。数学表达：点 \\( z_0 \\) 是 \\( S \\) 的边界点，如果对于任意 \\( \epsilon>0 \\) ，\\( N(z_0,\epsilon)\cap S\neq \varnothing \\) 且 \\( N(z_0, \epsilon) \cap (\mathbb{C} \backslash S) \neq\varnothing \\) 。一个集合 S 所有边界点的集合称为 S 的边界(boundary)，记作 \\( \partial S \\) 或 \\( \mathrm{bd}(S) \\) 。

下图展示了这些概念：

如果一个点 \\( z_0 \\) 任意邻域都含有集合 \\( S \\) 中的点，这样的点称为聚点(accumulation point)。这意味着 \\( S \\) 中的点可以“任意地接近” \\( z_0 \\) 。与之相对的概念是孤立点(isolated point)：只要存在 \\( x \\) 的一个邻域，这个邻域里除了 \\( s_0 \\) 自身外，再也没有 \\( S \\) 中的其它点了，那么这个点就是孤立点。孤立点必是边界点，内点必是聚点。

集合相关概念

如果一个集合 \\( S \\) 不包含任何它的边界点，这样的集合称为开集(open set)。换句话说，开集中的每一个点都是它的内点（集合等于其内部），数学表达为 \\( S=S^\circ \\) 。一个 \\( \epsilon \\)-邻域 \\( { z:|z−z_0| < \epsilon } \\) 本身就是一个开集。开集没有“边界”的限制，后续介绍的解析函数通常定义在开集上。

反之，一个集合 S 如果它包含所有它的边界点，则称为闭集(closed set)。或者也可以这样定义：如果集合一个的补集 \\( \mathbb C\backslash S \\)（即复平面上所有不属于 \\( S \\) 的点构成的集合）是一个开集，则这个集合是闭集。闭集是一个有明确边界并且边界也属于它本身的图形，例如一个实心圆形（包括圆周）、一条直线、一个点都是闭集。闭集在讨论极限和收敛性时很重要。

一个集合可以同时存在属于该集合的边界点和不属于该集合的边界点，这种情况下这个集合既不是开集也不是闭集。整个复平面 \\( \mathbb C \\) 和空集 \\( \varnothing \\) 是两个比较特殊的集合，由于它们没有边界点，它们既是开集也是闭集。

一个集合如果是“一整块”的，没有被分成互相分离成几个部分，则称其为连通集(connected set)。复分析中常使用路径连通(path-connected)的方式定义：如果一个集合 \\( S \\) 中的任意两点 \\( z_1 \\) 和 \\( z_2 \\) 都可以用一条完全包含在 \\( S \\) 内部的连续曲线连接起来，则这个集合是路径连通的。对于复平面中的开集（最常使用的集合类型），连通和路径连通是等价的。开的连通集称为区域(domain / region)，这是复变函数中的一个重要概念，后续介绍的解析函数的很多性质都是定义在区域上的。

复平面上的曲线和区域

如果要准确描述复平面上的曲线和区域，可以参考笛卡尔平面的表示方式。

平面曲线有直角坐标方程和参数方程两种形式，复平面也可以写成相应的复数形式。记 \\( z=x+yi \\) ，则 \\( xOy \\) 面上的曲线 \\( C \\) 可以可以由 \\( F(x,y)=0 \\) 直角坐标方程来描述。由 \\( x=\Re(z)=\dfrac {z+\bar z}2 \\) 以及 \\( y=\Im(z) = \dfrac {z-\bar z}{2i} \\) 可以得到复平面上曲线 \\( C \\) 的两种方程形式：

\\[ \begin{gathered} F[\Re(z), \Im(z)] = 0 \\ F\left[\dfrac {z+\bar z}2, \dfrac {z-\bar z}{2i}\right] = 0 \\ \end{gathered} \\]

例如，直线 \\( x=2 \\) 的复数形式为 \\( \Re(z)=2 \\) 或 \\( z+\bar z = 4 \\) ；直线 \\( 3x+4y=5 \\) 的复数形式为 \\( 3(z+\bar z) - 4i(z-\bar z) = 10 \\) ；圆 \\( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 \\) 的复数形式为 \\( |z-z_0|=R \\) 。

若记 \\( x=x(t),y=y(t);\;(\alpha \le \beta) \\) ，则曲线 \\( C \\) 也可由参数方程 \\( z=z(t)=x(t)+iy(t) \\) 描述。例如，圆的参数方程为 \\( \displaystyle \begin{cases} x(t)=x_0+R\cos t \ y(t)=y_0+R\sin t \end{cases} (0\le t\le 2\pi) \\) ，则对应的复数形式为 \\( z=z_0+R(\cos t + i\sin t) \\) ，或者可用欧拉公式变换为 \\( z=z_0 + Re^{it} \\) 。

复数与平面向量

前面看到复数 \\( z=a+bi \\) 和平面向量 \\( \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \\) 有很多相似之处，例如它们都与平面上的点是一一对应的关系，在线性运算（加减和数乘）方面有类似的代数性质，复数的模和平面向量的长度也是基本相同的概念，并且复数乘法的旋转概念在平面向量中也可以使用旋转矩阵 \\( r\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \\) 描述。那么，能否使用平面向量取代复数呢？

首先，复数的乘法是可交换的，而向量和矩阵的乘法则不满足交换律，向量之间的乘法定义还不是唯一的；而且复数拥有乘法逆元，即除法的存在，而平面向量和矩阵之间则没有。因此，复数本身构成了一个域结构，并且可以视为实数域的推广。但是，平面向量这种简单的结构使其可以很容易推广到任意维度的情况，而复数的进一步推广则要难得多。两者更严格的区别可以参考相关分析学教材。

复数的基本概念

复数的由来